Привет! В этой статье поговорим о самом простом, но очень важном виде деформации – растяжении (сжатии). Обычно, с этого студенты и начинают изучать сопромат.
Здесь принято вводить основные понятия, которые используются на протяжении всего курса.
Растяжение (сжатие) – это вид деформации, при котором в поперечных сечениях растянутого (или сжатого) стержня возникают продольные силы (N).
Что такое продольная сила?
Соответственно, продольная сила – это внутренний силовой фактор, возникающий при деформации растяжения (сжатия).
В задачах на растяжение (сжатие) всё начинается с нахождения этих самых продольных сил. Зная, которые можно определить другие, очень важные характеристики: напряжения, перемещения и т. д.
Как определить продольную силу?
Продольные силы определяются методом сечений.
Когда стержень рассекается на две части, действие частей друг на друга заменяется продольными силами:
Затем, из уравнения равновесия, находятся их значения:
Для понимания, как распределены продольные силы по длине стержня, принято строить эпюру продольных сил. Подробный урок, по построению эпюры продольных сил можно найти, перейдя по указанной ссылке.
Что по поводу нормальных напряжений?
Нормальные напряжения также можно найти в любом сечении. Для этого нужно продольную силу в этом сечении разделить на площадь этого сечения:
Так же, как и в случае с продольными силами, принято строить эпюру нормальных напряжений. Чтобы видеть наиболее опасные участки рассматриваемого стержня. Подробнее, про эпюры нормальных напряжений можно почитать в этой же статье.
Как найти перемещения?
В случае с растяжением (сжатием), стержни либо удлиняются, либо укорачиваются.
Например, для схемы, представленной выше, удлинение свободного торца можно посчитать по формуле:
где N – продольная сила в сечениях;
l – длина стержня до приложения внешней силы;
E – модуль упругости, материала из которого изготовлен стержень;
A – площадь поперечного сечения стержня.
Для перемещений тоже принято строить эпюры – эпюры осевых перемещений поперечных сечений. Также можешь найти подробности в ранее указанной статье.
Как насчет расчетов на прочность?
В этом разделе поговорим о расчетах на прочность при растяжении (сжатии), а также рассмотрим несколько примеров.
Условие прочности при растяжении (сжатии)
Условие прочности при растяжении (сжатии) выглядит следующим образом:
То есть рассчитываемый элемент можно считать прочным, если максимальное нормальное напряжение (σmax) возникающее в элементе меньше, либо, по крайней мере, равно допустимому — [σ].
Нормальные напряжения (σ) в сечениях определяются по формуле:
где N – продольная сила в сечении;
A – площадь сечения.
Площадь простых сечений можно посчитать по этим формулам.
Допустимое напряжение
Как правило, в задачах, допустимое напряжение [σ] уже задано по условию. Для стали, по традиции, принимают [σ] = 160 МПа.
Если же [σ], по условию задачи не дано явно, то допустимое напряжение можно вычислить по формуле:
где σпред – предельное напряжение;
n – коэффициент запаса прочности.
Очевидно, за предельное напряжение для разных материалов принимают различное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких материалов (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения – предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение (сжатие), с помощью специальных машин, которые фиксируют характеристики материалов в виде диаграмм.
Коэффициент запаса прочности
Коэффициент запаса прочности (n) выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения или сферы применения проектируемой детали. Обычно коэффициент запаса прочности варьируется от 2 до 6.
Проверка прочности при растяжении (сжатии)
Проверим прочность стального стержня, работающего на сжатие, если d1 = 50 мм, d2 = 70 мм, σт = 260 МПа, nт = 2.
Определим продольные силы на участках:
Определим площади поперечных сечений на участках:
Найдем нормальные напряжений на участках:
Максимальные нормальные напряжения будут равны:
Проверка прочности стержня
Определим допускаемое напряжение:
Так как:
Прочность стержня обеспеченна.
Подбор размеров поперечных сечений при растяжении (сжатии)
Подберём размеры поперечных сечений стержня, если допустимое напряжение [σ] = 160 МПа.
Найдём продольные силы на каждом участке:
Запишем условие прочности для участков бруса:
Или его можно записать как:
Отсюда можно выразить необходимую площадь поперечных сечений:
Так как сечения бруса круглые, можно записать:
Подставляя численные значения для каждого участка, найдём искомые размеры:
Округлим полученные значения по ГОСТ 6636-69 (Ra40) до ближайших больших и окончательно примем: