Кручение: эпюры, формулы и расчеты при кручении

В этой статье начнем говорить о кручении. Это одна из базисных тем в сопромате, как и растяжение-сжатие. Знания этой темы помогут тебе при изучении более сложных тем курса «сопротивление материалов».

Кручение – это такой вид деформации, при котором в сечениях стержня возникают крутящие моменты (T).

На кручение, как правило, работают детали, которые называются валами. Детали, которые широко используются в машиностроении.

Что такое крутящий момент?

Крутящий момент – это внутренний силовой фактор, возникающий в сечениях стержней испытывающих деформацию кручения.

На практике же стержни не работают исключительно на кручение, они могут и растягиваться, и изгибаться. Но это уже более продвинутые темы – сложное сопротивление. В этом же разделе будем рассматривать чистое кручение.

В чем измеряется крутящий момент и как обозначается?

Крутящие моменты обозначаются буквой – T (сокращённое с английского: Torque – крутящий момент), однако, часто в другой литературе ты можешь встретить обозначение — М_кр. Ты можешь использовать любое обозначение, какое больше нравиться, либо которое использует твой преподаватель.

В задачах тебе будут даны крутящие моменты, скорее всего, в Н·м либо кН·м.

Построение эпюры крутящих моментов

В этой статье расскажу, как строить эпюры при кручении: крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и углов закручивания (углов поворотов).

На самом деле, многие рассматриваемые здесь принципы сильно похожи на те, что мы изучали ранее в уроке про построение эпюр при растяжении (сжатии). Здесь фактически будем делать всё то же самое, только оперировать другими обозначениями и названиями. После изучения того урока, с кручением у тебя точно не возникнет никаких трудностей.

В качестве примера, возьмём следующую расчётную схему:

Будем считать, что стержень изготовлен из стали (G = 8 · 10¹⁰ Па), а диаметры ступеней равны: d₁=150 мм, d₂=200 мм, d₃=300 мм.

Под действием внешних моментов (M), их еще часто называют вращающими или скручивающими моментами, в поперечных сечениях стержня возникают внутренние моменты – крутящие (T).

Правило знаков для крутящих моментов

Чтобы построить эпюру крутящих моментов, необходимо задаться каким-то правилом знаков для крутящих моментов. В этой статье я буду использовать следующее правило:

• Если внешний момент (M), в плоскости сечения, поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, то крутящий момент (T) – положительный.

• Если внешний момент (M), в плоскости сечения, поворачивает ПО часовой стрелке, то крутящий момент (T) – отрицательный.

Можно учитывать знак крутящего момента ровно наоборот. Главное, придерживаться этого правила при расчёте всех участков и ориентироваться по полученным эпюрам: в какую сторону у тебя будут направлены внешние моменты, внутренние – крутящие моменты, куда будут поворачиваться сечения. Как видишь, знаки здесь нам нужны, чтобы задать определённые правила игры, а правило знаков – условное и не имеет физического смысла.

Расчёт крутящих моментов

Что же, давай, наконец, приступим к расчёту крутящих моментов. Пронумеруем расчётные участки:

Используя правило знаков, описанное выше, рассчитаем крутящие моменты на каждом участке:

По полученным значениям построим эпюру касательных напряжений:

Построение эпюры касательных напряжений при кручении

Касательные напряжения по высоте круглого сечения, будут распределены следующим образом:

Как видишь, касательные напряжения будут максимальны на поверхности стержня, они нас и будут интересовать больше всего, т. к. по ним выполняются прочностные расчёты, для них и будем строить эпюру – максимальных касательных напряжений.

Расчёт максимальных касательных напряжений

Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении, можно определить по формуле:

где Wp — полярный момент сопротивлния, T — крутящий момент.

Полярный момент сопротивления для круглого сечения определяется по формуле:

Поэтому формулу для нахождения максимальных касательных напряжений для круглого поперечного сечения, можно записать в следующем виде:

По условию задачи диаметры участков известны. Осталось вычислить максимальные касательные напряжения на каждом участке:

По полученным значениям построим эпюру касательных напряжений:

Построение эпюры углов закручивания (поворотов)

Под действием внешних – скручивающих моментов, поперечные сечения стержня будут поворачиваться на определенный угол (φ). В этом разделе будем учиться определять эти углы закручивания (поворотов) поперечных сечений и строить эпюру.

Обозначим точки в характерных сечениях стержня:

Расчёт начинаем от жёсткой заделки и сразу можем записать, что в точке A, угол поворота равен нулю, т. к. здесь заделка ограничивает любые повороты сечения:

Чтобы рассчитать поворот сечения B, нужно учесть поворот предыдущего сечения:

А также, угол закручивания участка между расчётными сечениями:

Угол закручивания участка можно посчитать по формуле:

где l – длина участка; I_p – полярный момент инерции; G – модуль сдвига.

G – модуль сдвига (модуль упругости 2 рода) – определяется при испытании образцов на кручение, тем самым зависит от материала образца.

Модуль сдвига (G) известен, по условию задачи.

Формула для определения полярного момента инерции для круглого сечения следующая:

Зная диаметры, сразу вычислим полярные моменты инерции для каждого участка:

Определим угол закручивания сечения B, с учётом вышеуказанных формул:

Также можно перевести это значение в привычные градусы:

Для двух других сечений расчёт производится аналогичным образом.

Угол поворота сечения С

Угол поворота сечения D

По рассчитанным значениям, построим эпюру углов закручивания поперечных сечений:

Таким образом, свободный торец стержня, повернётся на 0.58 градуса, относительно неподвижного сечения A.

Расчеты на прочность при кручении

При кручении расчёты на прочность в целом похожи на расчёты при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений расчёт ведётся по касательным напряжениям.

На кручение, как правило, работают детали, которые называются валами. Их назначение – передача крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет либо круглое сечение, либо кольцевое.

Условие прочности

За допустимое касательное напряжение [τ], часто в задачах по сопромату, принимают напряжение в два раза меньше, чем допустимое нормальное напряжение [σ]:

Максимальные касательные напряжения (τ_max) в сечениях можно найти по формуле:

где T – крутящий момент в сечении;

W_p – полярный момент сопротивления сечения.

Полярные моменты сопротивления можно посчитать этим формулам.