Примеры решения задач по сопромату

Сопромат

Статья посвящена решению сопромата, в частности основным разделам по которым решаются задачи. Дано краткое описание того, что необходимо делать, находить, определять в этих задачах каждого раздела. Также собраны ссылки на примеры решения задач по основным разделам сопромата:

На данной страничке собраны ссылки на основные рубрики данного сайта с примерами решения задач по сопромату.

  1. Стержневые системы
  2. Пространственные системы (рамы)
  3. Валы

Классификация по виду деформации:

  1. Изгиб
  2. Кручение
  3. Изгиб с кручением 
  4. Растяжение (сжатие)

Примеры решения задач на геометрические характеристики

prostoe-sechenie-simmetrichnoeПри решении задач, связанных с геометрическими характеристиками, для плоских сечений могут определяться такие вещи как центр тяжести, осевой момент инерции, момент сопротивления, радиус инерции и т.д. Причем задачи могут сильно разница по сложности, все зависит от самого поперечного сечения. Например, для плоского сечения, у которого имеется две оси симметрии, можно сразу сказать, где у него находится центр тяжести, соответственно и положение главных центральных осей. Можно сразу определить главные моменты инерции, потом и момент сопротивления, и радиус инерции.

Для сечения, у которого только одна ось симметрии, центр тяжести будет лежать на этой оси, но не лежать на другой оси, одну из координат придется вычислять, затем также определять остальные важные геометрические характеристики.prosto-sechenie-s-odnoy-osyu-simetrii Но в задачах могут встречаться и совсем не симметричные поперечные сечения. У простых сечений, которых есть хотя бы одна ось симметрии,  вертикальная и горизонтальная осевые линии, проходящие через центр тяжести, являются главными центральными осями, то есть осями относительно которых осевой момент максимален и минимален. У сложных поперечных сечений, без осей симметрий, главные центральные оси проходят через центр тяжести, но находятся под некоторым углом к вертикальной или горизонтальной оси. Для решения такой задачи, необходимо сначала определить моменты инерции относительно вертикальной и горизонтальной оси проходящей через центр тяжести, центробежный момент инерции, затем уже можно определить тот самый угол, и численные значения главных центральных моментов инерции.

slozhnoe-nesimmetrichnoe-sechenie

Примеры решения задач на растяжение (сжатие)

Продольная сила-внутреннее усилиеНа тему растяжения (сжатия) можно выделить 4 основных типа задач: статически определимый и неопределимый брус, статически определимая и неопределимая стержневая система. Во всех данных типах задач обязательно вычисляется внутреннее усилие – продольная сила, возникающая в нагруженных элементах при центральном растяжении (сжатии).

В статически неопределимых задачах, перед тем как определить продольные силы обязательно раскрывается статическая неопределимость. После определения продольных усилий в решении задачи может:

  1. Вычисляться площадь / площади поперечных сечений конструкции из условия прочности.
  2. Вычисляться нормальное напряжение / напряжения. По вычисленным напряжениям делается вывод о прочности конструкции путем сравнения расчетного максимального напряжения с допустимым напряжением.

opredelenie-ploshhadi-poperechnogo-secheniya-ili-napryazheniy

Часто по условию задачи требуется определить осевое перемещение поперечного сечения, найти  удлинение (укорочение) стержня.

opredelenie-udlinenie-ukorocheniya

В условии задач обычно требуют строить эпюры от описываемых выше величин: продольной силы, нормального напряжения и перемещения.

epyuryi-prodolnyih-sil-normalnyih-napryazheniy

Примеры решения задач на кручение

krutyashhie-momentyiЗадачи на чистое кручение сильно схожи с задачами растяжение (сжатие). В элементах, работающих на кручение, чаще всего валов, возникает также как и при растяжении один внутренний силовой фактор, только не продольная сила, а крутящий момент. Соответственно вместо нормальных напряжений, уже появляются касательные напряжения, которые распределены в поперечном сечении не равномерно, в отличие от нормальных напряжений, появляющихся при растяжении (сжатии). Как видно из рисунка, максимальные напряжения находятся в наиболее удаленных точках сечения.kasatelnyie-napryazheniya-pri-kruchenii

Задачи могут быть проектировочными и проверочными. В первых определяются оптимальные размеры детали, удовлетворяющие условию прочности, а во вторых проверяется прочности детали работающей под заданной нагрузкой.

Помимо крутящих моментов, касательных напряжений, в задачах  часто требуют определять относительные углы закручивания или углы поворота поперечных сечений.

Задачи на кручение могут быть как статически определимыми, так и неопределимыми. Статическая неопределимость раскрывается точно так же, как и при центральном растяжении. Составляется дополнительное уравнение совместности деформаций к уравнению равновесия, и выражаются реактивные моменты.

Примеры решения задач на изгиб

Задачи на поперечный изгиб очень разнообразны, перейдя по ссылке выше можно посмотреть примеры задач на этот вид деформации. В рамках этого блока будем говорить именно о поперечном изгибе, его еще называют плоским или прямым. О более сложных видах изгиба (изгиб с кручением, косой изгиб) поговорим ниже, в рамках раздела – сложное сопротивление. При поперечном изгибе деталей в их поперечных сечениях появляются два внутренних силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент.izgibashhiy-moment-i-poperechnaya-sila

А значит и два типа напряжений: касательные и нормальные. При проведении прочностных расчетов учитываются оба вида напряжений, но особую важность представляют напряжения нормальные, т.к. они, чаще всего, в несколько раз превосходят касательные. Нормальные напряжения можно определить по изгибающему моменту, а касательные определяют с помощью формулы Журавского по поперечной силе.

epyura-normalnyih-i-kasatelnyih-napryazheniy

Расчеты на прочность при поперечном изгибе могут быть проверочными и проектировочными. Также часто производят расчеты на грузоподъемность, то есть вычисляют нагрузку, которую может выдержать конструкция, работающая на изгиб.

При решении задач на изгиб могут производиться расчеты на жесткость. Для этого определяют максимальное перемещение или угол поворота поперечного сечения различными методами: Мора-Верещагина, Мора-Симпсона, методом начальных параметров, методом конечных разностей, методом Кастильяно и д.р. После определения перемещений их сравнивают с допустимыми перемещениями. Также иногда в задачах требуют определить размеры конструкции из условия жесткости.

Сопромат