Расчеты на прочность

Эта статья будет посвящена основным видам расчётов на прочность, которые выполняются в рамках дисциплины – «сопротивление материалов».

Виды расчетов на прочность

Существует два основных типа расчета на прочность: проверочный и проектировочный.

Проверочные расчеты на прочность – это такие расчеты, при выполнении которых проверятся прочность элемента конструкции, заданной формы, размеров и материала, под некоторой нагрузкой.

При проведении проектировочных расчетов на прочность определяются определённые размеры элемента конструкции (детали) из условия прочности. Причем, очевидно, что для разных видов деформаций эти условия прочности различны.

Также иногда выполняются расчеты на грузоподъемность, когда вычисляется максимальная нагрузка, которую может выдерживать конструкция.

Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)

Начнём, пожалуй, с самого простого вида деформации – растяжения (сжатия).

Условие прочности

Условие прочности при растяжении (сжатии) выглядит следующим образом:

Условие прочности при растяжении (сжатии)

То есть рассчитываемый элемент можно считать прочным, если максимальное нормальное напряжение (σmax) возникающее в элементе меньше, либо, по крайней мере, равно допустимому — [σ].

Нормальные напряжения (σ) в сечениях определяются по формуле:

Формула для определения нормальных напряжений при растяжении (сжатии)

где N – продольная сила в сечении;

A – площадь сечения.

Площадь простых сечений можно посчитать по этим формулам.

Допустимое напряжение

Как правило, в задачах, допустимое напряжение [σ] уже задано по условию. Для стали, по традиции, принимают [σ] = 160 МПа.

Если же [σ], по условию задачи не дано явно, то допустимое напряжение можно вычислить по формуле:

Формула для определения допустимых напряжений

где σпред – предельное напряжение;

n – коэффициент запаса прочности.

Очевидно, за предельное напряжение для разных материалов принимают различное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких материалов (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения – предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение (сжатие), с помощью специальных машин, которые фиксируют характеристики материалов в виде диаграмм.

Коэффициент запаса прочности (n) выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения или сферы применения проектируемой детали. Обычно коэффициент запаса прочности варьируется от 2 до 6.

Проверка прочности при растяжении (сжатии)

Проверим прочность стального стержня, работающего на сжатие, если d1 = 50 мм, d2 = 70 мм, σт = 260 МПа, nт = 2.

Расчётная схема стержня, работающего на сжатие

Определим продольные силы на участках:

Определим площади поперечных сечений на участках:

Найдем нормальные напряжений на участках:

Построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений для стержня

Максимальные нормальные напряжения будут равны:

Проверка прочности стержня

Определим допускаемое напряжение:

Так как:

Прочность стержня обеспеченна.

Подбор размеров поперечных сечений при растяжении (сжатии)

Подберём размеры поперечных сечений стержня, если допустимое напряжение [σ] = 160 МПа.

Расчётная схема стержня, работающего на растяжение

Найдём продольные силы на каждом участке:

Построение эпюры продольных сил для стержня

Запишем условие прочности для участков бруса:

Или его можно записать как:

Отсюда можно выразить необходимую площадь поперечных сечений:

Так как сечения бруса круглые, можно записать:

Подставляя численные значения для каждого участка, найдём искомые размеры:

Округлим полученные значения по ГОСТ 6636-69 (Ra40) до ближайших больших и окончательно примем:

Расчеты на прочность при кручении

При кручении расчёты на прочность в целом похожи на расчёты при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений расчёт ведётся по касательным напряжениям.

На кручение, как правило, работают детали, которые называются валами. Их назначение – передача крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет либо круглое сечение, либо кольцевое.

Условие прочности

Условие прочности при кручении

За допустимое касательное напряжение [τ], часто в задачах по сопромату, принимают напряжение в два раза меньше, чем допустимое нормальное напряжение [σ]:

Формула для определения допустимых касательных напряжений

Максимальные касательные напряжения (τmax) в сечениях можно найти по формуле:

Формула для определения максимальных нормальных напряжений

где T – крутящий момент в сечении;

Wp – полярный момент сопротивления сечения.

Полярные моменты сопротивления

Полярные моменты сопротивления обозначаются буквой – W, с индексом p.

Полярный момент сопротивления круга

Изображение круга для расчёта полярного момента сопротивления
Формула для расчёта полярного момента сопротивления круга

Полярный момент сопротивления кольца

Изображение кольца для расчёта полярного момента сопротивления
Формула для расчёта полярного момента сопротивления кольца

Расчеты на прочность при изгибе

Теперь предлагаю поговорить о расчётах на прочность при поперечном изгибе. При этом виде деформации расчёты проводятся и по нормальным напряжениям и по касательным. Но так как зачастую касательные напряжения в несколько раз меньше нормальных, основным здесь является расчёт по нормальным напряжениям, а расчёт по касательным напряжениям — проверочный.

Условие прочности

Условие прочности по нормальным напряжениям такое же, как и при растяжении (сжатии):

Условие прочности при поперечном изгибе

Нормальные напряжения в сечениях при поперечном изгибе, определяются по следующей формуле:

Формула для определения нормальных напряжений при поперечном изгибе

где Mизг – изгибающий момент в сечении;

W – момент сопротивления сечения;

Моменты сопротивления простых сечений

В этом разделе ты сможешь найти формулы для расчёта осевых моментов сопротивления сечений (фигур).

Моменты сопротивления обозначаются буквойW.

Моменты сопротивления

квадрата

Изображение квадрата для расчёта моментов сопротивления
Формулы для определения моментов сопротивления квадрата

Моменты сопротивления круга

Изображение круга для расчёта моментов сопротивления
Формулы для определения моментов сопротивления круга

Моменты сопротивления

прямоугольника

Изображение прямоугольника для расчёта моментов сопротивления
Формулы для определения моментов сопротивления прямоугольника

Моменты сопротивления кольца

Изображение кольца для расчёта моментов сопротивления
Формулы для определения моментов сопротивления кольца