Расчет прогиба балки методом начальных параметров

Сопромат

В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки, работающей на изгиб. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.Расчет прогиба методом начальных параметров: рассмотрена теория метода и пример расчета

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым, охватим всю теоретическую часть по максимуму. Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:Для расчетной схемы консольной балки обозначаются нагрузки и опорные реакции

Выбор базы и обозначение системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:Для консольной балки обозначаем размеры и базу от которой будут отсчитываться расстояния

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит  немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом решения задач на метод начальных параметров.

Универсальное уравнение прогибов для балки

После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем универсальную формулу, с помощью которой, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки): Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать:

  • E – модуль упругости;
  • I – момент инерции;
  • Vk – прогиб сечения K;
  • VO – прогиб сечения O;
  • θO – угол поворота сечения О.

Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.

Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае Vk, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIVO:

Также всегда учитывается угол поворота сечения совпадающего с выбранной базой. Причем, произведение EIθO всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

В случае с моментами, скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелке и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало.

Причем важно, даже если бы в этом сечении была бы сила или момент, их бы так же не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.

Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил:

Граничные условия

Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: VK, VO и θO. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть VO=0 и θO=0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был бы уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах.

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров.  Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.

Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·105 МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см4). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать. В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой. Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:

Расчет прогиба

Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:

VA = 0 при x = 6м

θA = 0 при x = 6м

Напомню, что нас, в этом примере, интересует прогиб сечения O (VO). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:

В полученном уравнении, у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб VO и угол поворота этого сечения — θO:

Таким образом, чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:Из второго уравнения, найдем угол поворота:После чего, рассчитываем искомый прогиб:

Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае, для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.

Сопромат

комментария 22

  1. ТТ:

    Спасибо! Большое и человеческое. Когда читаешь учебник, ощущение, что профессора их пишут друг для друга, но никак не для студентов. У вас все изложено простым и доступным для понимания языком, за что вам искренне признательна.

    • Константин Вавилов:

      И Вам спасибо за такой прекрасный отзыв! Буду продолжать трудиться.

    • Дмитрий:

      Хех просто ты не знаешь как пишут эти учебники и методички)) Их пишут и составляют криворукие аспиранты в спешке дабы защитить диссертацию. Ведь надо же делать вид что ты в науке что-то делаешь. Никто не будет писать для студента доступно и на понятном языке увы=(

  2. Ната:

    Совершенно согласно с комментатором. Очень понятно, изложено для людей, которые только начинают изучать эту тему, а не для профессионалов. Сколько не читала методичек или учебников, везде куча непонятных терминов, в формулах неизвестно откуда взяты значения. А здесь как раз то, что нужно для понимания сути и решения задачи!  Огромнейшее спасибо!

    • Константин Вавилов:

      Большое спасибо за отзыв! Очень мотивируете на создание новых уроков!

  3. Дмитрий:

    Формула общая если честно не очень понятная нужно было сказать что это уже общее уравнение именно для конкретной нашей схемы. Про базу тоже чутка не понятно мы помещаем балку в левую декартовую а в уравнении все меняем знаки просто с + на -? Ещё очень интересно я долго мучаюсь над одним вопросом вот просто чисто теоретически можно ли данный метод применить для расчёта перемещений в раме или этот метод исключительно для балки только?

    • ssopromat:

      Здравствуйте, Дмитрий.
      1. Для лучшего понимания формулы, рекомендую изучить другую мою статью про расчет прогибов методом начальных параметров. Ссылка указана в конце этой статьи.
      2. Да, все верно. Если задаться правой системой координат и поместить ее начало с правого торца балки, то в расчете, для нагрузок, все знаки изменятся на противоположные. Можете поэкспериментировать на простеньком примере.
      3. Данное уравнение выведено для балок с постоянной жесткостью. Поэтому для рам его не получиться использовать. Вручную, перемещения в рамах, целесообразно рассчитывать методом Мора-Верещагина (-Симпсона).

      • Дмитрий:

        Понял спасибо, а то я 2 года мучался над 3 вопросом=))
        Кстате могу предложить идею для новой статьи если интересно конечно построение эпюр перемещений и нахождение экстремумов. Вот ссылочка (не вирус) там задачка рассмотрена не сложная…

        • ssopromat:

          Спасибо, посмотрел. Что-то подобное уже планировал написать, может быть дополню эту статью расчетами эпюр прогибов и углов поворотов.

  4. ssopromat:

    Сегодня обновил данную статью: перерисовал все изображения и формулы, добавил новый пример расчета прогибов.

  5. drawingss:

    Здравствуйте. Исправьте в формуле Мо — оно против часовой, значит с минусом. В уравнении угла поворота знак верен

    • ssopromat:

      Приветствую!
      Спасибо, что сообщили! Обязательно поправлю. Не состыковка получилась, после последнего обновления страницы: перерисовки иллюстраций и формул.

  6. Константин Вавилов:

    Обновил формулы, поправил знаки для Mo.

  7. Никита:

    Здравствуйте! Спасибо вам большое за статью! Объяснили доступно и доходчиво))
    Подскажите пожалуйста еще с таким вопросом: здесь вы ведете расчет на жесткость (на прогиб или перемещение) свободного конца консоли согласно универсальному уравнению прогибов для балки, а при расчете прогиба другого сечения (например, в сечении с точкой приложения силы F) применяется ли данная формула? Или для расчета прогиба другого сечения (сечение между «О» и «К» — рисунок 1) применяется другая методика?

    • Константин Вавилов:

      Здравствуйте, Никита!
      По данной методике можно рассчитать прогиб или угол поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине). Для каждого сечения, формула будет лишь немного видоизменяться. Например, при подсчете прогиба сечения под силой F, будет учитываться вся нагрузка, которая находится левее этой силы (R0, M0, M), а вместо буквы г , в формуле будет стоять буква б.

  8. Алексей:

    Здравствуйте! У меня вопрос: как быть в случае, если с правой стороны на расстоянии г подвижная шарнирная опора и нужно определить угол поворота на этой опоре?

    • Алексей:

      Не уточнил, жесткая заделка слева, справа подвижная опора.

      • Константин Вавилов:

        Здравствуйте, Алексей!
        Для такой балки в первую очередь нужно раскрыть статическую неопределимость. Для этого можно составить два уравнения статики и уравнение прогибов для сечения в котором находится опора. Совместно решить уравнения, тем самым найти реакции в жесткой заделке и реакцию в опоре. Далее, составить уравнение для искомого угла поворота.

  9. Владислав:

    Есть разные варианты МНП. Одни основаны на интегрировании уравнения второй степени, другие — четвертой степени. Одни уравнения, как здесь, — для статики, другие (гораздо более сложные) — для задач динамики и устойчивости. В некоторых учебниках написано то же самое, что и в данной статье, т.е. доступно. Просто надо учебник читать не с конца, а с начала. МНП применялся раньше для расчета рам тоже, особенно в области динамики рам с распределенной массой. Все это давно изложено в учебниках по строительной механике. Сейчас такой подход имеет ограниченную область применения в связи с наличием программных средств. Учебные задачки по определению перемещений в рамах, конечно, проще решать методом Мора.

  10. Наталья:

    Константин, подскажите, пожалуйста. В расчете статически определимой многопролетной балки задано: методом начальных параметров определить сечение, в котором прогиб будет наибольшим. С однопролетной или консольной балкой все понятно. А как быть с многопролетной?

  11. Алексей:

    Никак не пойму, а если силы, моменты и распределенная нагрузка начинается с точки «г», тогда все в скобках зануляется ((г-г) = 0 в любой степени), но очевидно балка прогнется. Где я не понимаю ?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.