Эпюры: крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания

В этой статье расскажу, как строить эпюры при кручении: крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и углов закручивания (углов поворотов).

На самом деле, многие рассматриваемые здесь принципы сильно похожи на те, что мы изучали ранее в уроке про построение эпюр при растяжении (сжатии). Здесь фактически будем делать всё то же самое, только оперировать другими обозначениями и названиями. После изучения того урока, с кручением у тебя точно не возникнет никаких трудностей.

Построение эпюры крутящих моментов

В качестве примера, возьмём следующую расчётную схему:

Расчётная схема стержня, работающего на кручение

Будем считать, что стержень изготовлен из стали (G = 8 · 1010 Па), а диаметры ступеней равны: d1=150 мм, d2=200 мм, d3=300 мм.

Под действием внешних моментов (M), их еще часто называют вращающими или скручивающими моментами, в поперечных сечениях стержня возникают внутренние моменты – крутящие (T).

Схема, показывающая крутящие моменты при рассечении стержня

Крутящие моменты обозначаются буквой – T (сокращённое с английского: Torque – крутящий момент), однако, часто в другой литературе ты можешь встретить обозначение — Мкр. Ты можешь использовать любое обозначение, какое больше нравиться, либо которое использует твой преподаватель.

Правило знаков для крутящих моментов

Чтобы построить эпюру крутящих моментов, необходимо задаться каким-то правилом знаков для крутящих моментов. В этой статье я буду использовать следующее правило:

  • Если внешний момент (M), в плоскости сечения, поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, то крутящий момент (T) – положительный.
Схема, показывающая положительное направление крутящего момента
  • Если внешний момент (M), в плоскости сечения, поворачивает ПО часовой стрелке, то крутящий момент (T) – отрицательный.
Схема, показывающая отрицательное направление крутящего момента

Можно учитывать знак крутящего момента ровно наоборот. Главное, придерживаться этого правила при расчёте всех участков и ориентироваться по полученным эпюрам: в какую сторону у тебя будут направлены внешние моменты, внутренние – крутящие моменты, куда будут поворачиваться сечения. Как видишь, знаки здесь нам нужны, чтобы задать определённые правила игры, а правило знаков – условное и не имеет физического смысла.

Расчёт крутящих моментов

Что же, давай, наконец, приступим к расчёту крутящих моментов. Пронумеруем расчётные участки:

Нумерация участков на расчётной схеме

Используя правило знаков, описанное выше, рассчитаем крутящие моменты на каждом участке:

Расчёт крутящих моментов на участках

По полученным значениям построим эпюру касательных напряжений:

Эпюра крутящих моментов

Построение эпюры касательных напряжений

Касательные напряжения по высоте круглого сечения, будут распределены следующим образом:

Схема распределения касательных напряжений

Как видишь, касательные напряжения будут максимальны на поверхности стержня, они нас и будут интересовать больше всего, т. к. по ним выполняются прочностные расчёты, для них и будем строить эпюру – максимальных касательных напряжений.

Расчёт максимальных касательных напряжений

Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении, можно определить по формуле:

Формула для нахождения максимальных касательных напряжений

где Wp — полярный момент сопротивлния, T — крутящий момент.

Полярный момент сопротивления для круглого сечения определяется по формуле:

Формула для расчёта полярного момента сопротивления для круглого сечения

Поэтому формулу для нахождения максимальных касательных напряжений для круглого поперечного сечения, можно записать в следующем виде:

Видоизменяя формула для нахождения максимальных касательных напряжений для круглого сечения

По условию задачи диаметры участков известны. Осталось вычислить максимальные касательные напряжения на каждом участке:

Вычисление максимальных касательных напряжений на участках

По полученным значениям построим эпюру касательных напряжений:

Эпюра максимальных касательных напряжений

Построение эпюры углов закручивания (поворотов)

Под действием внешних – скручивающих моментов, поперечные сечения стержня будут поворачиваться на определенный угол (φ). В этом разделе будем учиться определять эти углы закручивания (поворотов) поперечных сечений и строить эпюру.

Обозначим точки в характерных сечениях стержня:

Обозначение характерных точек на расчётной схеме стержня

Расчёт начинаем от жёсткой заделки и сразу можем записать, что в точке A, угол поворота равен нулю, т. к. здесь заделка ограничивает любые повороты сечения:

Формула отражающая, что угол поворота в заделке равен нулю

Чтобы рассчитать поворот сечения B, нужно учесть поворот предыдущего сечения:

Формула показывающая, что необходимо учитывать угол поворота предыдущего сечения

А также, угол закручивания участка между расчётными сечениями:

Формула для нахождения угла поворота сечения B

Угол закручивания участка можно посчитать по формуле:

Формула для нахождения угла закручивания участка

где l – длина участка; Ip – полярный момент инерции; G – модуль сдвига.

G – модуль сдвига (модуль упругости 2 рода) – определяется при испытании образцов на кручение, тем самым зависит от материала образца.

Модуль сдвига (G) известен, по условию задачи.

Формула для определения полярного момента инерции для круглого сечения следующая:

Формула для нахождения полярного момента сопротивления

Зная диаметры, сразу вычислим полярные моменты инерции для каждого участка:

Расчёт полярных моментов сопротивления на каждом участке

Определим угол закручивания сечения B, с учётом вышеуказанных формул:

Расчёт угла поворота сечения B

Также можно перевести это значение в привычные градусы:

Перевод угла поворота из радианов в градусы

Для двух других сечений расчёт производится аналогичным образом.

Угол поворота сечения С

Расчёт угла поворота сечения C

Угол поворота сечения D

Расчёт угла поворота сечения D

По рассчитанным значениям, построим эпюру углов закручивания поперечных сечений:

Эпюра углов закручивания (поворотов) поперечных сечений

Таким образом, свободный торец стержня, повернётся на 0.58 градуса, относительно неподвижного сечения A.

1 комментарий

  1. Константин:

    Опубликовал новую статью по кручению, вопросы можно задавать здесь.