Определение геометрических характеристик

При расчёте элементов конструкций на прочность, жёсткость и устойчивость (классические расчёты в сопромате) используются следующие геометрические характеристики плоских сечений: площадь, моменты инерции, моменты сопротивления и другие.

Для простейших фигур, таких, как квадрат, прямоугольник, круг и т. д.– эти характеристики определяются по табличным формулам, для более сложных же поперечных сечений, как правило, состоящих из простых, характеристики нужно рассчитывать по специальным методикам, которые и будем рассматривать в рамках этой статьи.

В этом уроке как раз, и будем учиться определять геометрические характеристики составных сечений – из простых фигур. Как обычно, начнём с более простого примера — определим положение центра тяжести сечения, состоящего из простых фигур. Затем будем рассчитывать моменты инерции — для симметричного сечения, состоящего из простых геометрических фигур.

Площади простых фигур и их центры тяжести

Но перед тем как рассмотреть первый пример, в этом разделе дам некоторую справочную информацию – формулы для расчёта площадей простых фигур и положения их центров тяжести. Чтобы затем ссылаться на эти характеристики по ходу расчёта в рамках урока, а также в других статьях на сайте.

Центры тяжести простых фигур

Для всех фигур, положение центра тяжести в статье обозначается буквой – C, это наиболее используемый вариант. Также иногда центр тяжести обозначают буквой – O.

Площади простых фигур

В сопромате площадь поперечного сечения обозначается буквой – A, однако, в некоторой литературе ты можешь встретить обозначения с буквой – F.

Площадь квадрата

Изображение квадрата для расчёта площади с указанием положения центра тяжести
Формула для определения площади квадрата

Площадь круга

Изображение круга для расчёта площади с указанием положения центра тяжести
Формулы для определения площади круга

Площадь полукруга

Изображение полукруга для расчёта площади с указанием положения центра тяжести
Формулы для определения площади полукруга

Площадь прямоугольного треугольника

Изображение прямоугольного треугольника для расчёта площади с указанием положения центра тяжести
Формула для определения площади прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольника

Изображение прямоугольника для расчёта площади с указанием положения центра тяжести
Формула для определения площади прямоугольника

Площадь кольца

Изображение кольца для расчёта площади с указанием положения центра тяжести
Формулы для определения площади кольца

Площадь четверти круга

Изображение четверти круга для расчёта его площади с указанием положения центра тяжести
Формулы для определения площади четверти круга

Площадь равнобедренного треугольника

Изображение равнобедренного треугольника для расчёта площади с указанием положения центра тяжести
Формула для определения площади равнобедренного треугольника

Определение положения центра тяжести фигуры (сечения)

В этом разделе рассмотрим пример определения положения центра тяжести составной фигуры (сечения), состоящей из простых фигур:

Фигура, состоящая из нескольких простых фигур

В сопромате принято заштриховывать сечения тонкими линиями, вот так:

Штриховка на сечении, состоящем из нескольких фигур

В своих уроках я не буду заштриховывать сечения, а вместо этого буду использовать заливку, чтобы штриховка не мешала наносить обозначения.

Как видишь, сечение состоит из прямоугольника, прямоугольного треугольника, четверти круга, а также имеет круглый вырез:

Разбивка сложной фигуры на простые и нумерация фигур

Отметим центры тяжести (С1, С2, С3, С4) каждой отдельной фигуры, с учётом справочной информации:

Указание центров тяжести простых фигур

Покажем вспомогательные оси (x0, y0) для всего сечения, которые будем использовать для нахождения положения центра тяжести (C):

Введение вспомогательной системы координат для всего сечения

Как определить положение центра тяжести?

Чтобы определить координату центра тяжести сечения, например, вертикальное расстояние от оси x0 до центра тяжести сечения (yc):

Указание координаты от вспомогательной оси до центра тяжести

Нужно статический момент сечения относительно этой вспомогательной оси (x0) разделить на площадь всего сечения (A):

Площадь всего сечения (A) найти просто – это алгебраическая сумма площадей всех фигур:

Статический момент сечения, относительно вспомогательной оси будет равен алгебраической сумме статических моментов каждой фигуры (с учётом знака):

где Ai – площадь отдельной фигуры;
yi – расстояние от центра тяжести отдельной фигуры до вспомогательной оси (x0).

Координата центра тяжести (xc), находится аналогично:

Определение площади сечения

Для начала предлагаю сделать самое простое, используя вышеуказанные формулы, найти площадь всего сечения (A):

Сечение, для которого рассчитывается площадь

Как видишь, круглый вырез, нужно учесть с «минусом», что очевидно.

Определение расстояний от вспомогательных осей до центров тяжести отдельных фигур

С учётом справочной информации найдём расстояния от вспомогательных осей (x0, y0) до центров тяжести отдельных фигур:

Определение статических моментов

Определяем статические моменты сечения относительно вспомогательных осей (x0, y0):

Важно! Статические моменты могут быть и отрицательными.

Определение координат центра тяжести

И, наконец, определяем положение центра тяжести всего сечения (C):

Покажем центр тяжести всего сечения (C):

Указание найденного центра тяжести сечения

Осевые моменты инерции простых сечений

Перед тем как пойдём дальше и начнём учиться определять осевые моменты инерции для сложных сечений, я должен дать формулы для определения моментов инерций простейших фигур (сечений). Эти формулы будем использовать дальше в статье, а также при решении различных задач по сопромату.

Традиционно, моменты инерции обозначаются буквойI. Также в литературе, часто используют букву – J.

Формулы для расчёта осевых моментов инерции простых фигур

Моменты инерции квадрата

Изображение квадрата для расчёта осевых моментов инерции
Формула для определения моментов инерции квадрата

Моменты инерции круга

Изображение круга для расчёта осевых моментов инерции
Формула для определения моментов инерции круга

Моменты инерции полукруга

Изображение полукруга для расчёта осевых моментов инерции
Формула для определения моментов инерции полукруга

Моменты инерции прямоугольного треугольника

Изображение прямоугольного треугольника для расчёта осевых моментов инерции
Формула для определения моментов инерции прямоугольного треугольника

Моменты инерции прямоугольника

Изображение прямоугольника для расчёта осевых моментов инерции
Формула для определения моментов инерции прямоугольника

Моменты инерции кольца

Изображение кольца для расчёта осевых моментов инерции
Формула для определения моментов инерции кольца

Моменты инерции четверти круга

Изображение четверти круга для расчёта осевых моментов инерции
Формула для определения моментов инерции четверти круга

Моменты инерции равнобедренного треугольника

Изображение равнобедренного треугольника для расчёта осевых моментов инерции
Формула для определения моментов инерции равнобедренного треугольника

Определение осевых моментов инерции

В этом разделе будем учиться определять осевые моменты инерции. А также закрепим прошлый материал, где определяли положение центра тяжести для сечения, состоящего из простых фигур.

Симметричное сечение из простых фигур

В качестве примера возьмём симметричное сечение, имеющее две оси симметрии:

Симметричное сечение, состоящее из простых фигур

Определение положения центра тяжести

Подготовим сечение к расчёту:

  • разобьём сечение на простейшие фигуры;
  • обозначим центры тяжести отдельных фигур;
  • введём вспомогательные координатные оси (y0, x0).
Указание центров тяжести фигур и введение вспомогательной системы координат

Площадь сечения

Расстояния от центров тяжести отдельных фигур до вспомогательных осей

Статические моменты

Координаты центра тяжести

Покажем центр тяжести всего сечения:

Указание центра тяжести составного сечения

Как видишь, центр тяжести находится ровно посередине сечения. Это свойство симметричного сечения. У такого сечения, которое имеет две оси симметрии, центр тяжести находится на пересечении этих осей. Поэтому для симметричного сечения можно и не рассчитывать положение центра тяжести.

Расчёт моментов инерции

Для выполнения дальнейшего расчёта следует обозначить центральные оси для всего сечения (x, y), а также собственные оси для каждой отдельной фигуры, которые формируют сечение:

Указание осей для отдельных фигур, так и для всего сечения

Как определить моменты инерции относительно центральных осей?

Осевые моменты инерции (Ix, Iy) относительно центральных осей (x, y) можно определить по следующим формулам:

где Ixi, Iyi – моменты инерции отдельных фигур относительно собственных осей;

Ai – площади отдельных фигур;

yci, xci – расстояния от центров тяжести отдельных фигур до соответствующей центральной оси.

Определение моментов инерции для каждой фигуры

Определим осевые моменты инерции каждой отдельной фигуры, пользуясь справочной информацией:

Определение расстояний от центров тяжести каждой фигуры до центральных осей

Определение моментов инерции относительно центральных осей

1 комментарий

  1. Константин:

    Опубликовал новую статью по определению геометрических характеристик плоских сечений. Позднее планирую дополнить статью другими примерами. Как минимум рассмотреть сечение из прокатных профилей с одной осью симметрии, а также рассмотреть какое-нибудь несимметричное сечение из тех же прокатных профилей.