Определение положения центра тяжести фигуры (сечения)

В этой статье посмотрим, как определяются координаты центра тяжести сложной фигуры — состоящей из простых. В задачах по сопромату часто приходится находить положение центра тяжести составных сечений, для дальнейшего вычисления моментов инерции и т. д.

Также часто, при изучении теоретической механики, студентам предлагается решить подобную задачу, и найти центр тяжести какой-нибудь фигуры.

Условие задачи

Предлагаю рассмотреть следующую фигуру:

Фигура, состоящая из нескольких простых фигур

В сопромате принято заштриховывать сечения тонкими линиями, вот так:

Штриховка на сечении, состоящем из нескольких фигур

В своих же уроках я буду использовать заливку. Так, штриховка не будет мешать наносить обозначения.

Разбивка сложной фигуры на простые

Как видишь, сечение состоит из прямоугольника, прямоугольного треугольника, четверти круга, а также имеет круглый вырез:

Разбивка сложной фигуры на простые и нумерация фигур

Отметим центры тяжести (С1, С2, С3, С4) каждой отдельной фигуры, с учётом справочной информации.

Открой эту страничку, и пока не закрывай, она нам ещё понадобится!

Указание центров тяжести простых фигур

Покажем вспомогательные оси (x0, y0) для всего сечения, которые будем использовать для нахождения положения центра тяжести (C):

Введение вспомогательной системы координат для всего сечения

Как определить положение центра тяжести?

Чтобы определить координату центра тяжести сечения, например, вертикальное расстояние от оси x0 до центра тяжести сечения (yc):

Указание координаты от вспомогательной оси до центра тяжести

Нужно статический момент сечения относительно этой вспомогательной оси (x0) разделить на площадь всего сечения (A):

Площадь всего сечения (A) найти просто – это алгебраическая сумма площадей всех фигур:

Статический момент сечения, относительно вспомогательной оси будет равен алгебраической сумме статических моментов каждой фигуры (с учётом знака):

где Ai – площадь отдельной фигуры;
yi – расстояние от центра тяжести отдельной фигуры до вспомогательной оси (x0).

Координата центра тяжести (xc), находится аналогично:

Определение площади сечения

Для начала предлагаю сделать самое простое, используя формулы, указанные на этой странице, найти площадь всего сечения (A):

Сечение, для которого рассчитывается площадь

Как видишь, круглый вырез, нужно учесть с «минусом», что очевидно.

Определение расстояний от вспомогательных осей до центров тяжести отдельных фигур

Найдём расстояния от вспомогательных осей (x0, y0) до центров тяжести отдельных фигур, опять же, используя нашу шпаргалку:

Определение статических моментов

Определяем статические моменты сечения относительно вспомогательных осей (x0, y0):

Важно! Статические моменты могут быть и отрицательными.

Определение координат центра тяжести

И, наконец, определяем положение центра тяжести всего сечения (C):

Покажем центр тяжести всего сечения (C):

Указание найденного центра тяжести сечения

Если остались какие-то вопросы по данному уроку, можешь смело задавать их в комментариях. Также, другие уроки, на сайте – ssopromat.ru, по определению геометрических характеристик, можешь найти здесь.

комментариев 8

  1. Андрей:

    Практическая польза в чем?

    • Константин:

      Зная положение центра тяжести, можно рассчитать другие характеристики сечения: такие как, момент инерции, момент сопротивления и т. д., которые используются в инженерных расчетах.

    • Илюша:

      я *** не понял у меня по этой *** экзамен как мне его сдать, экзамен завтра ))))))

  2. Александр:

    Спасибо за публикацию.

  3. Аноним:

    Спасибо! Никогда сопромат не изучала, нужно было помочь ребенку решить. И по Вашей статье все понятно. Действительно, для чайников! Супер!

  4. Катька:

    Скажите пожалуйста, в каких случаях нужно находить статические моменты и по оси х и по оси у ?

  5. Гончарова Инна Олеговна:

    Как сделать проверку?

    • Константин:

      Можно найти положение центра тяжести относительно любых других вспомогательных осей, либо посчитать статические моменты относительно осей проходящих через центр тяжести сечения, они должны быть равны нулю, если центр тяжести посчитан правильно. Скорее всего, в домашней работе от вас хотят второе.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *